Sabtu, 04 September 2010

Irisan Kerucut

Kode MAT.10

Penyusun:

Drs. Mega Teguh B., M. Pd.
Editor:
Dr. Manuharawati, MSi.
Dra. Kusrini, M.Pd.
BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM
DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
2004

Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul manual untuk SMK Bidang Adaptif, yakni mata-pelajaran Fisika, Kimia dan Matematika. Modul yang disusun ini menggunakan pendekatan pembelajaran berdasarkan kompetensi, sebagai konsekuensi logis dari Kurikulum SMK Edisi 2004 yang menggunakan pendekatan kompetensi (CBT: Competency Based Training).
Sumber dan bahan ajar pokok Kurikulum SMK Edisi 2004 adalah modul, baik modul manual maupun interaktif dengan mengacu pada St andar Kompetensi Nasional (SKN) atau st andarisasi pada dunia kerja dan industri. Dengan modul ini, diharapkan digunakan sebagai sumber belajar pokok oleh peserta diklat untuk mencapai kompetensi kerja st andar yang diharapkan dunia kerja dan industri.
Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yakni mulai dari penyiapan materi modul, penyusunan naskah secara tertulis, kemudian disetting dengan bantuan alat-alat komputer, serta divalidasi dan diujicobakan empirik secara terbatas. Validasi dilakukan dengan teknik telaah ahli (expert -judgment), sementara ujicoba empirik dilakukan pada beberapa peserta diklat SMK. Harapannya, modul yang telah disusun ini merupakan bahan dan sumber belajar yang berbobot untuk membekali peserta diklat kompetensi kerja yang diharapkan. Namun demikian, karena dinamika perubahan sain dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar supaya selalu relevan dengan kondisi lapangan.
Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banyaknya dukungan dan bantuan dari berbagai pihak yang perlu diberikan penghargaan dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini tidak

berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada berbagai pihak, terutama tim penyusun modul (penulis, editor, tenaga komputerisasi modul, tenaga ahli desain grafis) atas dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menyelesaikan penyusunan modul ini.
Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar di bidang psikologi, praktisi dunia usaha dan industri, dan pakar akademik sebagai bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para pemakai berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas, dengan mengacu pada perkembangan IPTEK pada dunia usaha dan industri dan potensi SMK dan dukungan dunia usaha industri dalam rangka membekali kompetensi yang terst andar pada peserta diklat.
Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya peserta diklat SMK Bidang Adaptif untuk mata-pelajaran Matematika, Fisika, Kimia, atau praktisi yang sedang mengembangkan modul pembelajaran untuk SMK.


Jakarta, Desember 2004
a. n. Direktur Jenderal Pendidikan
Dasar dan Menengah
Direktur Pendidikan Menengah Kejuruan,

Dr. Ir. Gatot Hari Priowirjanto, M. Sc. NIP 130 675 814

DAFTAR ISI
? Halaman Sampul i
? Halaman Francis ii
? Kata Pengantar iii
? Daftar Isi v
? Peta Kedudukan Modul vii
? Daftar Judul Modul viii
? Glosary ix
I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi 1
B. Prasyarat 1
C. Petunjuk Penggunaan Modul 1
D. Tujuan Akhir 2
E. Kompetensi 3
F. Cek Kemampuan 5
II. PEM BELAJARAN 6
A. Rencana Belajar Peserta Diklat
B. Kegiatan Belajar 7
1. Kegiatan Belajar 1 7
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran 7
b. Uraian Materi 7
c. Rangkuman 20
d. Tugas 21
e. Kunci Jawaban Tugas 21
f. Tes Formatif 23
g. Kunci Jawaban Formatif 24
2. Kegiatan Belajar 2 25
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran 25
b. Uraian Materi 25
c. Rangkuman 36
d. Tugas 37
e. Kunci Jawaban Tugas 37
f. Tes Formatif 39
g. Kunci Jawaban Formatif 39


3. Kegiatan Belajar 3 41
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran 41
b. Uraian Materi 41
c. Rangkuman 51
d. Tugas 51
e. Kunci Jawaban Tugas 52
f. Tes Formatif 53
g. Kunci Jawaban Formatif 54
4. Kegiatan
Belajar 4 55
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran 55
b. Uraian Materi 55
c. Rangkuman 61
d. Tugas 62
e. Kunci Jawaban Tugas 62
f. Tes Formatif 64
g. Kunci Jawaban Formatif 64
III. EVALUASI ............................................................................... 66
KUNCI EVALUASI
...................................................................... 67
IV. PENUTUP ............................................................................... 69
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 70

PETA KEDUDUKAN MODUL


Daftar Judul Modul

No. Kode Modul Judul Modul
1 MAT.01 Matri k
2 MAT.02 Logika Matematika
3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan
4 MAT.04 Geometri Dimensi Dua
5 MAT.05 Relasi Dan Fungsi
6 MAT.06 Geometri Dimensi Tiga
7 MAT.07 Peluang
8 MAT.08 Bilangan Real
9 MAT.09 Trigonometri
10 MAT.10 Irisan Kerucut
11 MAT.11 Statistika
12 MAT.12 Barisan
13 MAT.13 Aproksimasi Kesalahan
14 MAT.14 ProgramLinier
15 MAT.15 Vektor
16 MAT.16 Matematika Keuangan

G lossa ry

ISTILAH KETERANGAN
Lingkaran Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki
jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik
itu disebut pusat lingkaran.
Jari -jari lingkaran Ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada
lingkaran dan titik pusat lingkaran.
Ellips Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jumlah
jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.
Parabola Hmpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki
jarak tetap terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis
tertentu pula. Titik itu disebut fokus parabola, sedangkan
garis itu disebut garis arah atau ? direktriks. Parabola
dapat dilukis jika diketahui garis arah dan titik fokus yang
terletak pada suatu garis.
Hiperbola Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang selisih
jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.
Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Hiperbola.

BAB I. PE N DAH U LUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini anda akan mempelajari 4 Kegiatan Belajar. Kegiatan Belajar 1 adalah Lingkaran, Kegiatan Belajar 2 adalah Ellips, Kegiatan Belajar 3 Parabola, dan Kegiatan Belajar 4 adalah Hiperbola. Dalam Kegiatan Belajar 1, yaitu Lingkaran, akan diuraikan mengenai unsur-unsur lingkaran beserta deskripsinya, persamaan lingkaran baik pusat di (0,0) maupun di (a,b). Juga dibahas persamaan garis singgung lingkaran, garis singgung persekutuan luar maupun dalam. Dalam Kegiatan Belajar 2, yaitu ellips akan diuraikan mengenai ellips beserta unsur-unsurnya serta deskripsinya, persamaan ellips, persamaan garis singgung serta aplikasinya. Dalam kegiatan belajar 3 yaitu parabola akan dibicarakan unsur-unsurnya serta deskripsinya, persamaan parabola, persamaan garis singgung pada parabola serta aplikasinya. Dalam kegiatan belajar 4 yaitu hiperbola akan dibicarakan unsur-unsurnya serta deskripsinya, persamaan hiperbola.

B. Prasyarat
Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah kesebangunan, jarak, kesejajaran, ketegaklurusan dan fungsi. Semua materi prasyarat tersebut terdapat dalam modul relasi dan fungsi dan geometri datar dan ruang.

C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut.
1. Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi dan skema akan menuntun anda dalam mempelajari modul ini dan kaitannya dengan modul-modul yang lain.

2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat:
1. Menemukan persamaan lingkaran beserta unsur-unsurnya,
2. Menggunakan rumus garis singgung untuk memecahkan masalah,
3. Menggunakan panjang garis singgung persekutuan luar untuk memecahkan masalah,
4. Menemukan persamaan ellips beserta unsur-unsurnya,
5. Menggunakan persamaan ellips untuk memecahkan masalah,
6. Menemukan persamaan parabola beserta unsur-unsurnya,
7. Menggunakan persamaan parabola untuk memecahkan masalah menentukan frekuensi harapan suatu kejadian,
8. Menemukan persamaan hiperbola beserta unsur-unsurnya,
9. Menggunakan persamaan hiperbola untuk memecahkan masalah.

E. Kompetensi
Kompetensi
Program Keahlian Mata Diklat-Kode Durasi Pembelajaran

: IRISAN KERUCUT : Program Adaptif
: MATEMATIKA/MAT10 : 56 jam @ 45 menit


MATERI POKOK PEMBELAJARAN
SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN
1. Menerapkan konsep ? Unsur-unsur lingkaran ? Unsur-unsur lingkaran ? Teliti dan cermat ? Pengertian unsur-unsur ? Menggambar irisan
Lingkaran dideskripsikan sesuai ciri-
cirinya ? Persamaan lingkaran
? Garis singgung sekutu luar dalam menyelesaikan
masalah irisan lingkaran
? Penentuan persamaan kerucut.
? Menggunakan
? Persamaan lingkaran kerucut lingkaran persamaan lingkaran,
ditentukan berdasarkan ? Pengertian garis parabola, elips,
unsur-unsur yang diketahui singgung sekutu hiperbola dalam
? Garis singgung sekutu luar ? Penentuan panjang menyelesaikan
dan dalam dilukis dari dua garis singgung sekutu masalah irisan
lingkaran yang diketahui ? Penerapan konsep ling- kerucut.
? Panjang garis singgung karan dalam
sekutu luar dan dalam di- menyelesai-kan
2. Menerapkan konsep
parabola hitung sesuai jari-jari dan
jarak pusat kedua lingkaran
? Konsep lingkaran
diterapkan dalam
penyelesaian masalah
kejuruan.
? Unsur-unsur parabola
dides-kripsikan sesuai ciri-
cirinya ? Unsur-unsur parabola
? Persamaan parabola dan
grafiknya ? Teliti dan cermat
dalam menyelesaikan
masalah irisan masalah kejuruan
? Unsur-unsur parabola
- Direktriks
- Koordinat titik
? Persamaan parabola kerucut puncak
ditentukan berdasarkan - Koordinat titik fokus
unsur-unsur yang diketahui - Persamaan sumbu
? Konsep parabola diterapkan ? Grafik persamaan
dalam penyelesaian parabola
masalah kejuruan ? Penerapan konsep
para-bola dalam
menyelesai-kan
masalah kejuruan


MATERI POKOK PEMBELAJARAN
SUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN
3. Menerapkan konsep
elips ? Unsur-unsur elips dides-
kripsikan sesuai ciri-cirinya
? Persamaan elips ditentukan
berdasarkan unsur-unsur
yang diketahui
? Konsep elips diterapkan
dalam penyelesaian
masalah kejuruan. ? Unsur-unsur Elips
? Persamaan Elips dan
grafiknya ? Teliti dan cermat
dalam menyelesaikan
masalah irisan
kerucut ? Pengertian Elips
? Persamaan Elips
? Unsur-unsur elips
- Koordinat titik
puncak
- Koordinat titik pusat
- Koordinat fokus
- Sumbu mayor dan
sumbu minor
? Sketsa elips
? Penerapan konsep
elips dalam
menyelesaikan
masalah kejuruan.
4. Menerapkan konsep
hiperbola ? Unsur-unsur hiperbola
dideskripsikan sesuai ciri-
cirinya
? Persamaan hiperbola
ditentukan berdasarkan
unsur-unsur yang diketahui
? Konsep hiperbola
diterapkan dalam
penyelesaian masalah
kejuruan ? Unsur-unsur hiperbola
? Persamaan hiperbola dan
sketsanya. ? Teliti dan cermat
dalam menyelesaikan
masalah irisan
kerucut ? Pengertian hiperbola
dan unsur-unsurnya:
- Titik Pusat
- Titik puncak
- Titik fokus
- Asimtot
- Sumbu mayor
- Sumbu minor
? Sketsa parabola
? Penerapan konsep
hiperbola dalam
menyelesaikan
masalah kejuruan.



F. Cek kemampuan
Kerjakanlah soal-soal berikut ini, jika anda dapat mengerjakan sebagian atau semua soal berikut ini, maka anda dapat meminta langsung kepada instruktur atau guru untuk mengerjakan soal-soal evaluasi untuk materi yang telah anda kuasai pada BAB III.
1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari -jari 4.
2. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya A(a,b) dengan jari -jari 4.
3. Tentukan persamaan ellips yang pusatnya O(0,0) dengan panjang sumbu panjang 8 dan sumbu pendek 4.
4. Tentukan persamaan ellips yang pusatnya P(-2,5) dengan panjang sumbu panjang 8 dan sumbu pendek 4.

5. Tentukan koordinat titik-titik api dari ellips

2 2
xy ??1
. 100 36

2
6. Tentukan persamaan ellips yang eksentrisitas numeriknya e = 3 salah
satu titik apinya F(6,0).


7. Tentukan tititk api dan persamaan garis arah parabola y2=24x.


8. Carilah persamaan garis yang menghubungkan titik M dan titik api parabola y2=20x, jika absis titik M adalah 7.


9. Tentukan nilai k sehingga persamaan y=kx+2 menyinggung parabola y2=4x.
10.Tentukan persamaan hiperbola yang pusatnya di (0,0) dan panjang sumbu hiperbola masing-masing 16 dan 12. Tentukan pula jarak antara dua fokus, persamaan direktrik, dan asimtot.


11.Tentukan persamaan hiperbola yang pusatnya di (0,0) jika eksentrisitas


13
nya 12 sedangkan jarak antara kedua fokus 10.



B. Kegiatan Belajar
1. Kegiatan Belajar 1: Lingkaran
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini, diharapkan anda dapat mendeskripsikan irisan kerucut yaitu lingkaran beserta pusat dan jari-jarinya. ? Memahami unsur-unsur lingkaran.
? Menentukan persamaan lingkaran jika pusat dan jari-jarinya diketahaui. ? Menghitung panjang garis sekutu luar dan dalam dari dua lingkaran.
? Dapat melukis garis singgung sekutu luar dan dalam dari dua lingkaran. ? Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan lingkaran.

b. Uraian Materi
Kurva lengkung sederhana dan teratur yang banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah lingkaran. Buatlah kerucut dari kertas manila, kemudian potong sejajar bidang alas. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang dipotong tadi? Permukaan kerucut yang dipotong tadi berbentuk lingkaran.
Dalam matematika, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran. Sedangkan ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada lingkaran dan titik pusat lingkaran disebut jari -jari lingkaran. Jadi lingkaran dapat dilukis jika titik pusat dan jari-jari lingkaran diketahui.

MENENTUKAN PERSAMAAN LINGKARAN
Ambil sebarang titik pada lingkaran misal T(x1 ,y1) dan titik O sebagai pusat lingkaran.
Tarik garis melalui T tegak lurus sumbu x misal di T1.
Pandang ? O T1T
? O T1T merupakan segitiga siku-siku, dimana membentuk sudut siku-siku di titik T1.
Sehingga berlaku teorema pytagoras:
O T12 + T1T2 = OT2
x1 2 + y12 = r2
Karena berlaku untuk semua titik pada lingkaran maka x2 + y2 = r2
x2 + y2 = r2
merupakan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan jari -jari r
Contoh 1
a. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari -jari 3 adalah x2 + y2 = 9
b. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 5 adalah x2 + y2 = 25
c. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari -jari 1 adalah x2 + y2 = 1

Contoh 2
a. x2 + y2 = 16 adalah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 4
b. x2 + y2 = 4 adalah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari -jari 2
MAT. 10. Irisan Kerucut 8

PERSAMAAN LINGKARAN PUSAT TIDAK PADA (0,0)
Ambil sebarang titik pada lingkaran misal T(x1 ,y1) dan titik P(a,b) sebagai pusat lingkaran.
,y1 ) Tarik garis melalui T tegak lurus sumbu x misal di T1.
Buat garis yang melalui titik P sejajar sumbu x, sehingga memotong TT1 di
T 1 titik Q.
Pandang ? PQT. ? PQT merupakan segitiga siku-siku di titik Q, TQ = (y1 – b) dan PQ = (x1 – a).
Sehingga berlaku teorema pytagoras: PQ2 + QT2 = OT2
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2
Karena berlaku untuk setiap titik T(x1 ,y1) pada lingkaran, maka berlaku (x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
merupakan persamaan lingkaran pusat (a,b) dengan jari-jari r
Contoh 3
Tentukan persamaan lingkaran dengan
a. pusat (2, 3) dan jari-jari 5
b. pusat (-3,1) dan jari-jari 2
c. pusat (2, -2) dan jari-jari 1 Penyelesaian
a. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari 5 adalah
(x – 2)2 + (y - 3)2 = 25
b. Persamaan lingkaran dengan pusat (-3, 1) dan jari-jari 2 adalah
(x + 3)2 + (y - 1)2 = 4.

c. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, -2) dan jari-jari 1 adalah (x – 2)2 + (y + 2)2 = 1
Contoh 4


Tentukan koordinat pusat dan jari jari lingkaran dengan persamaan 4x2 + 4y2 -4x + 16y -19 = 0


Penyelesaian


4x2 + 4y2 -4x + 16y -19 = 0, kedua ruas dibagi 4 didapat
x2 + y2 -x + 4y - 4 19 = 0
x2 -x + y2 + 4y - 4 19 = 0, dijadikan kuadrat sempurna didapat
x2 -x + 4 1 + y2 + 4y +4 = 4 19 + 4 1 + 4
(x – 2 1 )2 + (y + 2)2 = 9
1
Jadi Koordinat pusat lingkaran adalah ( 2 , -2) dan jari -jarinya 3
Contoh 5


Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(1, 3) dan melalui titik Q(-2,5)


Penyelesaian


Jari-jari lingkaran adalah panjang
2
r = PQ = (xP ? ? xQ ) 2 (y P ? y Q )
2
r = PQ = (1? ? 2)2 (3? 5)
r = PQ = 13
Jadi persamaan lingkarannya adalah (x – 1)2 + (y - 3)2 = 13
BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN
Bentuk umum persamaan lingkaran didapat dengan menurunkan persamaan lingkaran yang berpusat tidak pada (0,0) berikut ini:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x –2ax+ a2 + y2 –2by + b2 = r2
x2 + x2 –2ax –2by + a2 + b2 = r2
x2 + y2 –2ax –2by + a2 + b2 - r2 = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0, dengan A = -2a, B = -2b dan C = a2 + b2 - r2
1 1
atau a = -2 A, b = - 2 B dan r =?A2 )??B2 ?C
( )(
2 2
Contoh 6
Tentukan koordinat pusat dan jari jari lingkaran dengan persamaan 4x2 + 4y2 -4x + 16y -19 = 0
Penyelesaian
4x2 + 4y2 -4x + 16y -19 = 0, kedua ruas dibagi 4 didapat
x2 + y2 -x + 4y - 419 = 0
19 1 1
A = -1, B = 4 dan C = - 4 , maka pusat lingkaran ) 1 , -2) dan ,
(? A? B= ( 2
2 2
1 1 1 19
? A2 B2 ? C = ? ? 2)2 +
jari-jarinya r = ( )(
2 )??
2 ( 2 )2 ( 4
r = 9 =3
1
Jadi koordinat pusat lingkaran adalah ( 2 , -2) dan jari -jarinya 3
Bandingkan jawaban ini dengan contoh 4. Lebih mudah mana?
Contoh 7
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P(1,0), Q(0,1) dan R(2,2).
Penyelesaian
Misal persamaan lingkaranya adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Titik P (1,0) pada lingkaran berarti 12 + 02 + A.1 + B.0 + C = 0


A + C = -1 atau A = -1 – C (1) Titik Q (0,1) pada lingkaran berarti 02 + 12 + A.0 + B.1 + C = 0


B + C = -1 atau B = -1 - C (2) Titik R (2,2) pada lingkaran berarti 22 + 22 + A.2 + B.2 + C = 0


2A + 2B + C = -8 ……………… (3) Substitusi (1) dan (2) pada (3) didapat 2(-1 – C ) + 2(-1-C) + C = -8


-2 - 2 C –2 –2C + C = 0


-3C =- 4


4
C = 3
7
Dari (1) didapat A = - 3
7
Dari (2) didapat B = - 3
Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 - 3 7 x - 3 7 y + 3 4 = 0
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik.
a. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (0,0) Misal persamaan garis singgung: y = mx + k Sehingga ada satu titik pada lingkaran: x2 + y2 = r2 yang memenuhi persamaan garis singgung di atas. Akibatnya:
x2 + (mx + k )2 = r2


x2 + m2x2 + 2mkx+ k2 = r2
(1+m2)x2 + 2mkx+ k2 - r2 = 0; merupakan persamaan kuadrat dalam variabel x. Agar persamaan kuadrat itu mempunyai satu

harga x, maka harus terpenuhi syarat diskriminan dari persamaan itu sama dengan nol, yaitu: D = 0.
(2mk)2 – 4. (1+m2). (k2 - r2) = 0
4 m2k2 - 4 (k2 + m2k2 - r2 - m2r2 ) = 0 - 4 (k2 - r2 - m2r2 ) = 0
k2 - r2(1+m2) = 0
k = ? r 2 1? m
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = mx ? r
Contoh 8
Tentukan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 16 dengan gradien 3 Penyelesaian
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien
m adalah y = mx ? r
y = 3 x ? 4 2 1? 3
y = 3 x ? 4 10

b. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (a, b) Anda dapat menurunkan rumusnya dengan cara yang serupa dengan di atas. Anda dapat menemukan persamaan garis singgung
lingkaran yang berpusat di (a,b) yaitu y-b = m(x-a) ? r 2
1? m
Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – a)2 + (y – b) 2 = r 2
dengan gradien m adalah y - b = m(x – a) ? r 2
1? m

Contoh 9
Tentukan garis singgung pada lingkaran (x + 3)2 + (y - 1)2 = 4 dengan gradien -2
Penyelesaian
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien
m adalah y - b = m(x - a) ? r 2
1? m
y -1 = 3 (x + 3) ? 2 2
1? ? (2)
y = 3 x + 10 ? 4
c. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (0,0)
Misal titik singgungnya di T (x1,y1) Persamaan garis: y –y1 = m ( x –
x1)
y - y
2 1
Dengan m = tg ? =
x- x
2 1
Sehingga persamaan garis yang melalui PQ adalah
y - y
2 1
y –y1 =
x- x
2 1
P pada lingkaran sehingga berlaku :
2 + y12 = r2 x1
Q pada lingkaran sehingga berlaku :
2 + y22 = r2 x2
x12 + y12 = x22 + y22 atau x12 - x22 = (x1 - x2) (x1 + x2) = (y2 - y1) (y2 + y1) yy
? yy
?
21 2 1
?
xx
? xx
?
1 2 1 2
y y
? y y
?
2 1 2 1
? ?
xx
? xx
?
2 1 2 1

xx
?
2 1
Sehingga y- y1 = ? ( x – x1)
y y
?
2 1
Jika Q mendekati P sehingga hampir x2 = x1 dan y2 = y1, dimana PQ = 0.
x
y- y1 = ? ( x – x1)
1
y 1
y1y – y12 = - x1x + x12 x1x + y1y = x12 + y12 x1x + y1y = r2
Contoh 10
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (3,-4)
Penyelesaian
Persamaan garis singgung dengan titik singgung (3,-4)
pada lingkaran x2 + y2 = 25 adalah 3x - 4y = 25

d. Titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (a, b)
Persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2, dapat diubah menjadi (x - a)(x - a) + (y - b)(y - b) = r2.
Analogi dengan yang anda pelajari di atas, maka persamaan garis singgungnya adalah (x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2.
atau
x1x + y1y - a( x + x1 ) – b(y + y1) + a2 + b2 = r2 x1x + y1y - a( x + x1 ) – b(y + y1) + a2 + b2 - r2 = 0

x1x + y1y - (-A
1 )( x + x1 ) – (-B
1 )(y + y1) + a2 + b2 - r2 = 0
2 2
1 1
karena a = - 2 A, b = - 2 B dan r =? A2 )?? B2 ? C (, maka )(
2 2
1 ( x + x1 ) +B
1 (y + y1) + C = 0
x1x + y1y +A
2 2
Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0, adalah
1 ( x + x1 ) +B
1 (y + y1) + C = 0
x1x + y1y +A
2 2
Contoh 11
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 6x – 4 y -4 =0 di titik (1,1)
Penyelesaian
Dari persamaan lingkaran x2 + y2 + 6x – 4 y -4 =0 diperoleh A = 6, B = -4 dan C = -3. Jadi persamaan garis singgung di titik (1,1) adalah:
1 ( x + x1 ) +B
1 (y + y1) + C = 0 x1x + y1y +A
2 2
x + y +3(x + 1) + -2(y + 1) – 4 = 0 x + y + 3x + 3 –2y – 2 – 4 = 0 4x - y – 3 = 0
Contoh 12
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 6)2 + (y + 2)2 = 16 di titik (2,2).
Penyelesaian
Persamaan garis singgung di titik (1,1) adalah:
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2.
(2 - 6)(x - 6) + (2 + 2)(y + 2)) = 16
-4(x - 6) + 4(y + 2)) = 16 atau -4x + 24 + 4y + 8 = 16

-4x + 4y = -16, jika kedua ruas dikalikan – 4 1 didapat:
x - y = 4 merupakan persamaan garis singgung yang diminta.
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU LUAR DAN DALAM
Perhatikan gambar di samping. Diketahui dua buah lingkaran masing-masing L1 dan L2 dengan jari-jari berurutan adalah r1 dan r2 dengan r1 > r2, sedangkan jarak antara titik pusat lingkaran itu adalah d. T1T2 disebut ruas garis singgung sekutu luar.
Berapakah panjang ruas garis singgung sekutu luar yang menghubungkan kedua lingkaran tersebut?
Penyelesaian:
Perhatikan ? T1T2Q siku-siku di T1 T2 Q = P1P2 = d dan T1Q = r1 – r2
Dengan teorema Pythagoras didapat T1T2 =
T1T2 =
Panjang garis singgung sekutu luar antara dua lingkaran yang jarijarinya r1 dan r2 dengan r1 > r2, serta jarak antara kedua pusat = d
adalah 2
(d)2 ? ? (rr)
1 2
Contoh 13
Tentukan panjang garis singgung sekutu luar antara lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 4x + 6y -4= 0 dan x2 + y2 + 10x + 14y –10 =0.

Penyelesaian
Lingkaran x2 + y2 + 2x -10y +1= 0 pusatnya di (1,-5) dan jari -jarinya 5 Lingkaran x2 + y2 + 12x + 14y -15= 0 pusatnya di (6,7) dan jari-jarinya 10
Jarak kedua pusat lengkaran = d = (1? 6)2 ?(? ? 57)2
d = (? 5) 2 ? ? (12) 2
d = 13
Panjang garis singgung sekutu luar adalah 2
(d)2 ?? (rr) 1 2
=(13)2 ? (10? 5)2 =169? 25 = 144 = 12
Perhatikan gambar di samping. Diketahui dua buah lingkaran masing-masing L1 dan L2 dengan jari-jari berurutan adalah r1 dan r2, sedangkan jarak antara titik pusat lingkaran itu adalah d. T1T2 disebut garis singgung sekutu dalam.
Berapakah panjang ruas garis singgung sekutu dalam yang menghubungkan kedua lingkaran tersebut?
Penyelesaian:
Buat garis melalui titik P2 sejajar T1T2 yaitu P2R
Buat garis melalui titik P1 sejajar T1T2 yaitu P1Q Pandang segi-4 P1QP2R;
T1T2 ? P2Q dan T1T2 ? P1R maka P2Q // P1R ……..(1) T1T2 // P2R dan T1T2 // P2Q maka P2R // P2Q ………...(2)
besar ? P1QP2 = besar ? P1QP2 = 900 (sehadap) ……………(3)
Dari (1),(2), dan (3) dapat disimpulkan bahwa segi-4 P1QP2R adalah persegi panjang.

Pandang ? P1Q P2 siku-siku di Q. maka berlaku teorema phytagoras
(P1P2)2 = (P1Q)2 + (QP2)2 (P1P2)2 = (T1T2)2 + (r1 + r2)2 (d)2 = (T1T2)2 + (r1 + r2)2
(d)2 ? ? (rr) 2
1 2
Contoh 14
Tentukan panjang garis singgung sekutu luar antara lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 2x + 4y + 4= 0 dan x2 + y2 - 12x - 20y + 132 =0.
Penyelesaian
Lingkaran pusatnya x2 + y2 + 2x + 4y + 4= 0 di (1,-2) dan jari -jarinya 1 Lingkaran x2 + y2 + 12x + 14y -15= 0 pusatnya di (6,10) dan jari-jarinya 2
Jarak kedua pusat lengkaran = d = (1 ? 6)2 ?(? ? 210)2
d = (? 5)2 ? (? 12)2 = 13
( d )2 ? ? ( rr) 2
1 2
=(13)2 ? ? (12)2 = 169 ? 9



c. Rangkuman Kegiatan 1
a. x2 + y2
dan jari-jari r
b. (x – a)2 + (y – b)2
dengan jari-jari r
c. Bentuk umum persamaan ingkaran adalah x2
1 1
dengan pusat di ) ,
(? A? Bdan jari -jari r
2 2
d. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2

m adalah y = mx ? r 2
1? m
e. Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalah y - b = m(x – a) ? r 2
1? m
f. Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah x1x + y1y = r2
g. Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x1,y1) pada
lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah (x1 - a)(x - a)+ (y1 - b)(y - b) = r2
h. Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0, adalah x1x + y1y +A
1 ( x + x1 ) +B
1 (y +
2 2
y1) + C =0
i. Panjang garis singgung sekutu luar antara dua lingkaran yang jari-jarinya r1 dan r2 dengan r1 > r2, serta jarak antara kedua pusat = d adalah
(d )2 ? ? (rr) 2
1 2
j. Panjang garis singgung sekutu dalam antara dua lingkaran yang jari-jarinya r1 dan r2, serta jarak antara kedua pusat d adalah

d. Tugas
Agar anda memahami materi-materi dalam kegiatan belajar ini, kerjakan soal-soal latihan berikut ini.
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan syarat:
a) bertitik pusat di P(3,-4) dan melalui O(0,0)
b) melalui titik–titk K(3,1) dan L(-1,3) dan titik pusatnya terletak pada garis 3x-y-2=0.
2. Tentukan titik pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 8x + 4y + 4= 0.
3. Tentukan persamaan lingkaran melalui titik K(1,1), L(1,-1) dan M(2,0)
4. Tentukan harga k, agar garis y = kx dan lingkaran x2 + y2 -10x + 16= 0
a) berpotongan di dua titik
b) bersinggungan
c) tidak berpotongan
5. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik O(0,0) pada lingkaran x2 + y2 – 6x - 2y + 8= 0
6. Diketahui dua buah roda yang jarak kedua As adalah 78 cm, roda pertama jari-jarinya 50 cm dan roda kedua 20 cm. Pada kedua roda dipasang rantai. Tentukan panjang rantai yang tidak menempel di roda.
d. Kunci Jawaban Tugas
Apabila anda menemui kesulitan dalam menyelesaikan soal latihan, anda dapat mengikuti petunjuk berikut ini. Jika anda bisa menjawabnya, cocokanlah jawaban anda dengan kunci berikut ini.
1. a) Persamaan lingkaran dengan pusat P(3,-4) dan melalui O(0,0) adalah (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25. Jarak OP sebagai jari-jari b) Misalkan persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 + Ax By +C = 0,
1 1
dimana pusat lingkaran P) ,
(? A? B. Koordinat-koordinat titik K dan
2 2
L disubstitusikan pada persamaan lingkaran dan koordinat P

disubstitusikan pada garis 3x – y –2=0. Sehingga diperoleh sistem persamaan linier yang terdiri atas 3 persamaan dan 3 variabel yaitu A, B, dan C. Selesaikan sistem persamaan itu dengan substitusi dan/atau eliminasi didapat A = -4, B = -8 dan C = 10.


Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 - 4x - 8y +10 = 0.
2. Persamaan lingkaran tersebut dapat diubah menjadi


5
(x + 2 5 )2 + (y + 4)2 = 4 25 , jadi pusatnya (- 2 5 ,-1) dan jari-jarinya 2
3. Misalkan persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 + Ax By +C = 0. Substitusikan koordinat titik P, Q, dan R pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh sistem persamaan linier yang terdiri atas 3 persamaan dan 3 variabel yaitu A, B, dan C. Selesaikan sistem persamaan itu dengan substitusi dan/atau eliminasi didapat A = -2, B = 0 dan C = 0.


Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 - 2x = 0


4. Misalkan garis dan lingkaran berpotonganmaka didapat persamaan kuadrat dalam x, yaitu x2 + k2 x2 - 10x +16= 0


(1 + k2) x2 –10x + 16 = 0, diskriminan dari persamaan ini adalah D = (6-8k) (6 + 8k).


Garis dan lingkaran akan:


3 3
a) berpotongan, jika D>0, didapat - 4 < k < 4
3 3
b) bersinggungan, jika D = 0, didapat k = - 4 atau k = 4
3 3
c) tidak berpotongan, jika D<0, didapat k <- 4 atau k > 4
5. Perhatikan titik O(0,0) terletak diluar lingkaran. Mengapa? Misalkan garis singgung yang dicari menyinggung lingkaran di titik S(a,b), maka persamaan garis singgungnya adalah
ax + by - 3(x + a) - (y + b) +8 = 0
(a - 3)x + (b - 1)y –3a – b +8=0

Garis singgung ini melalui (0,0), maka –3a –b +8=0
b= 8 – 3a (1)
S (a,b) pada lingkaran, maka a2 + b2 – 6a – 2b + 8= 0 (2) Substitusi (1) pada (2) didapat a2 + (8 – 3a ) 2 – 6a – 2(8 – 3a ) + 8= 0
a2 + 64 – 48 a + 9a 2 – 6a – 16+ 6a + 8= 0
10a2 -48a + 56 = 0
(2a - 4 )(5a - 14) = 0
14 2
a = 2 atau a = 5 , akibatnya b = 2 atau b = -5
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = x atau x + 7 y = 0
6. Panjang rantai yang tidak menempel di roda merupakan panjang garis singgung luar.
Panjang rantai = 2
(d)2? ? (rr)
1 2
= )78(? 2 (30)2
= 60 cm
e. Tes Formatif
1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,4), (5,0) dan (0,5).
2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 100 yang melalui titik (6,8)
3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 +8x – 6y = 0 dan apa keistimewaan dari lingkaran ini?
4. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar antara lingkaran x2 + y2 = 4 dan x2 + y2 - 20x + 36 = 0

f. Kunci Jawaban Tes Formatif
1. Misal persamaan lingkaran yang melalui titik (3,4), (5,0) dan (-5,0), adalah x2 + y2 +Ax + By + C= 0 Titik (3,4) pada lingkaran: 9+16 + 3A + 4B + C= 0 atau 3A + 4B + C=-25
Titik (5,0) pada lingkaran: 25+0 + 5A + 0 + C= 0 atau 5A + C= -25
Titik (0,5) pada lingkaran: 25+0 – 5A + 0 + C= 0 atau –5A + C= -25. Dari tiga persamaan di atas didapat A = 0, B= 0 dan C = -25
Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 - 25 = 0
2. Titik (6,8) pada lingkaran x2 + y2 = 10 Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 100 yang melalui titik (6,8) adalah 6x + 8y = 100 atau 3x + 4y = 50
3. Persamaan x2 + y2 +8x – 6y = 0 dapat diubah menjadi
x2 + 8x + y2 – 6y = 0
x2 + 8x + 16 + y2 – 6y + 9= 16 + 9
(x + 4)2 + (y - 4)2 = 25 Jadi pusat (-4, 3 ) dan jari-jari = 5
Anda dapat juga menggunakan cara lain.
4. Lingkaran x2 + y2 = 4 pusatnya (0,0) dan jari -jarinya 2
x2 + y2 - 20x + 36 = 0 pusatnya (10, 0) dan jari -jarinya 8 Jarak kedua pusat = 10
Panjang garis singgung luar = 2
(d)2 ?? (rr) 1 2
= (10)2 ? ? (8 2)2
= 8

2. Kegiatan Belajar 2: Ellips
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2
Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini, diharapkan anda dapat: ? Memahami unsur-unsur ellips
? Menentukan persamaan ellips jika pusat dan jari-jarinya diketahaui. ? Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan ellips.

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2
Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri adalah Ellips. Buatlah model kerucut dari kertas manila, kemudian potong menurut bidang tidak sejajar bidang alas tetapi tidak memotong bidang alas kerucut. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang terpotong? Permukaan kerucut yang terpotong berbentuk ellips.
Dalam matematika ellips didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Ellips.

UNSUR-UNSUR ELLIPS
Keterangan:
Titik O disebut koordinat titik pusat ellips Titik A, B, C dan D disebut koordinat titiktitik puncak ellips
Titik F1 dan F2 disebut koordinat titik-titik fokus ellips
AB dan CD berturut-turut disebut
sumbu mayor (sumbu panjang) dan sumbu minor (sumbu pendek)
AB = TF1 +TF2
MAT. 10. Irisan Kerucut 25

PERSAMAAN ELLIPS DENGAN PUSAT DI O(0,0)
Misalkan F1F2 = 2c , merupakan jarak antara dua titik fokus. Maka F1(c,0) dan F2(-c,0). Misalkan jumlah jarak yang tetap itu adalah 2a.
Ambil sebarang titik pada ellips misal T(x1 ,y1) dan titik O sebagai pusat ellips.
Berdasarkan definisi ellips, yaitu:
TF1 + TF2 = 2a
? 2
2 2
( x 1 ? c)? y + 2
( x1 ? c)? y = 2a
1 1
? 2
2 2
(x1 ? c)? y= 2a -2
(x1 ? c)? y, jika kedua ruas dikuadratkan didapat
1 1


(x1-c)2 + y12 = 4a2 + (x1+ c)2 + y12 –4a

2 2
( x1 ? ? c)y 1

? (x12 –2x1c + c2) + y12 = 4a2 + (x12 + 2x1c + c) + c2 – 4a2
2
(x1 ? ? c)y 1
2
? -4x1c - 4a2 = –4a2
(x1 ? c)? y, jika kedua ruas dibagi -4 didapat
1
? (x1c + a2)2 = a2 {(x1+ c)2 + y12}, jika kedua ruas dikuadratkan didapat ? x12c2 + a4 + 2x1ca2 = a2 (x12 + 2x1c + c2) + a2y12
? a2 (a2 – c2) = (a2 – c2)x12 + a2y12
Karena a > c maka a2 – c2 > 0 sehingga kita dapat memisalkan a2 – c2 = b2 sehingga persamaan di atas menjadi
? b2 x12 + a2y12 = a2 b2
2 2
x y
? 1 ? 1 ?
2 2
ab
Karena T(x1,y1) adalah titik yang diambil, maka setiap titik itu memenuhi:
2 2
y
x dan
? 2 1
? c disebut eksentrisitas numerik dan ditulis e. Karena
2
a b a
a>c maka 0 < e < 1.

2 2
x y
Persamaan ellips dengan pusat di O(0,0) adalah 2 1
? ?
2
a b
Contoh 1
Tentukan persamaan ellips yang berpusat di O(0,0) dengan sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut:
a. 8 dan 6 b. 4 dan 2
Penyelesaian
a. Sumbu panjang = 8, berarti a = 4. Sumbu pendek = 6, berarti b = 3


2 2
xy ? ?
b. Sumbu panjang = 4, berarti a = 2. Sumbu pendek = 2, berarti b = 1


2 2
xy ? ?
4 1
Contoh 2
Tentukan persamaan ellips yang titik apinya terletak pada sumbu x, simetri
3
terhadap titik O, sumbu panjangnya 20 dan eksentrisitas numerik e = 5 .
Penyelesaian
Sumbu panjang 2a = 20, berarti a = 10
3 c 3
e = 5 , berarti = 5 . Karena a = 10, dengan demikian c =6
a a2 – c2 = b2
b2 = 100 – 36 atau b2 = 64
b = 8, mengapa –8 tidak digunakan?
2 2
Jadi persamaan ellips adalah 1
xy ? ? 100 64
MAT. 10. Irisan Kerucut 27

PERSAMAAN ELLIPS DENGAN PUSAT TIDAK PADA (0,0)
Contoh 3
Tentukan persamaan ellips yang berpusat di (3 , -2) dengan sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut 6 dan 4.
Penyelesaian
Sumbu panjang = 6, berarti a = 3 Sumbu pendek = 4, berarti b = 2
2 ( )
x?
?
Jadi persamaan ellipsnya adalah 2
a
2 2
( 3)
xy ? ( 2)
?
? 1
? ?
2 2
32
(3)2 2
xy ? (2)
?
? 1
? ?
9 4

SKETSA ELLIPS
Dapatkah anda membuat gambar ellips? Buatlah dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Gambarlah di bukumu titik F1, F2 dan panjang 2a > F1F2. Tentukan titik A dan B pada perpanjangan garis F1F2 sedemikian hingga F2B = F1A dan AB = 2a
2. F2B= F1A = (2a - F1F2)
3. Titik Ti diperoleh sebagai berikut:
a) Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jari-jari ri > F1A
b) Dari B busurkan lingkaran dengan jari-jari 2a - ri
c) Perpotongan lingkaran pada langkah (a) dan (b) adalah titik Ti.
d) Lakukan langkah yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F2 dan sebaliknya. Akan didapat titik-titik C dan D yang memenuhi definisi ellips. Hubungkan titik-titik itu dengan kurva mulus akan didapat sketsa ellips

Bermain
Sediakan 2 paku pines, kapur tulis atau spidol papan dan tali secukupnya. Tancapkan 2 paku pines pada papan. Gunting tali dengan panjang lebih dari jarak kedua pines. Ikat ujung tali pada masing-masing pines (tali pada posisi kendor). Ambil kapur tulis atau spidol papan dan letakkan menempel tali pada posisi bagian dalam tali dan pines. Gerakan kapur atau spidol menelusuri tali maka akan tergambar ellips. Silahkan mencoba!

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS
Garis singgung ellips adalah suatu garis yang memotong ellips tepat pada satu titik.
a. Gradien diketahui
Misal persamaan garis singgung: y = mx + k
2 2
x y
Sehingga ada satu titik pada ellips: 2 1
? ? yang memenuhi
2
a b
persamaan garis singgung di atas. Akibatnya:
2 2
x ()
mxk
?
? 1
2 2
? b
a
? b2x2 + a2 (mx + k)2 = a2b2 ; jika kedua ruas dikalikan a2b2 didapat
? b2 x2 + a2 (m2x2 + k2 + 2mkx) = a2b2
? (b 2 + a2 m2)x2 + a2k2 + 2a2mkx - a2b2 = 0 ? (b 2 + a2 m2)x2 + 2a2mkx + a2(k2 - b2) = 0
Garis akan menyinggung ellips, jika titik-titik potong berimpit atau memotong di satu titik. Hal ini terjadi apabila persamaan kuadrat di atas mempunyai dua akar yang sama atau apabila diskriminannya sama dengan nol.
D = 0

Contoh 4
2 2
Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 1
x ? y ? , jika garis
16 9
singgung itu membentuk sudut 45o dengan sumbu x positip.
Penyelesaian
Garis singgung itu membentuk sudut 45o dengan sumbu x positip berarti gradien m = tg 45o = 1.
Persamaan garis singgungnya y = mx ? b? 2 a2m2
y = 1. x ?
y = x ? 5
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = x + 5 atau y = x – 5
Contoh 5
Carilah persamaan garis singgung pada ellips x2 + 4y2 = 20 yang tegak lurus ke garis 2x – 2y –13 = 0.
Penyelesaian
2x – 2y –13 = 0
y = (2x –13)/2
13
y = x - 2
Jadi gradien garis 2x – 2y –13 = 0 adalah m1 = 1. Karena garis singgung tegak lurus garis 2x – 2y –13 = 0, maka gradien garis singgung:
1
m2 = - = -1.
m1
2 2
Persamaan ellips x2 + 4y2 = 20 dapat diubah menjadi 1
x y ? ? 20 5
dengan membagi kedua ruas dengan 20.
Persamaan garis singgungnya adalah y = mx ? b? 2 a2m2
y = -1. x ? 5? 20 y = - x ? 5

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y + x - 5= 0 atau y + x + 5= 0
GARIS SINGGUNG UNTUK LINGKARAN YANG TIDAK BERPUSAT DI (0,0)
Dengan cara yang serupa dengan di atas dapat ditemukan persamaan garis singgung lingkaran yang tidak berpusat di (0,0) misal di (? ,?) yaitu
y- ? = m(x-? ) ? b? 2 a2m 2
Contoh 6
(3)2 2
x, ? y
(2)
?
Tentukan persmaan garis singgung pada ellips 1
?? 169
jika garis singgung itu membentuk sudut 135o dengan sumbu x positip. Penyelesaian
Garis singgung itu membentuk sudut 135o dengan sumbu x positip berarti gradien m = tg 135o = -1.
Persamaan garis singgungnya y- ? = m(x -? ) ? b? 2 a2m2
y + 2 = -1(x –3) ? 32 ? ? 42(1)2 y + 2 = -x + 3 ?5
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y + x = 6 atau y + x + 4 = 0
b. Titik singgungnya diketahui Misal titik singgungnya di T (x1,y1) dan P (x2,y2) suatu titik pada ellips, sedangkan persamaan ellips:
1 maka berlaku:
1 ……… (1) dan
x 2 y
? 2 ? 1
………………………….(2)
2 2
ab
MAT. 10. Irisan Kerucut 32

Dari persamaan (1) dan (2) didapat:
b2 x12 + a2y12 = b2 x22 + a2y22 b2 (x12 - x22) = -a2 (y12 - y22 )
b2 (x1 + x2) (x1 - x2) = -a2 (y1 + y2 ) (y1 - y2)
2 ??
bxx
( )y y ?
1 2 1 2
? ……………………………… (3)
2
a y y
( )
? xx
?
1 2 1 2
Karena persamaan garis yang melalui titik Tdan P adalah:
yy
1 2
? ( x – x1), substitusi (3 ) pada persamaan ini dida pat
y- y1 =
xx
?
1 2
2
b x x ( )
1 2
?? ( x – x1) ;
y- y1 = 2 a y y
( )
?
1 2
Jika P mendekati T sedemikian P sangat dekat dengan T, maka hampir x2 = x1 dan y2 = y1, dimana TP = 0.
2
1
? b x ( x – x1)
(2 )
y- y1 = 2 a y
(2 )
1
a2y1y – a2 y12 + b2 x1x – b2x12 = 0 ; kedua ruas dikalikan a2 a2y1y + b2 x1x – (a2 y12 + b2x12 ) = 0
a2y1y + b2 x1x – a2 b2 = 0
a2y1y + b2 x1x = a2 b2


Jadi persamaan garis singgung di titik singgung (x1,y1) adalah:
xx y y
1
1 ? b ?
2 1
2
a
Contoh 7
2 2
Carilah persamaan garis singgung pada ellips 1
x y di titik yang
? ?
30 24
absisnya 5. Penyelesaian
Titik-titik pada ellips yang absisnya 5, ordinatnya diperoleh dari

25 2 y ?
30 24
y2 = 4
y = ? 2
Jadi titik singgungnya P(5,2) dan Q(5, -2)
5 x y ? ?
2
Persamaan garis singgung di P adalah 1 30 24
5 x y ? ?
2
Persamaan garis singgung di Q adalah 1 30 24
Garis singgung ellips yang tidak berpusat di (? ,) ?
Dengan cara yang sama seperti di atas, untuk ellips
2 2 ()()
? y
x? ? , maka persamaan garis singgung di titik
?
?? 1
2 2
a b
singgung (x1,y1) adalah:
()() ()()
x? ? x? ?
? ? yy
? ?
1 ?
1
? 1
2 2
a b
Contoh 8
(2)2 2
x? y di
(3)
?
Carilah persamaan garis singgung pada ellips 1 ??
20 5
titik yang ordinatnya –2.
Penyelesaian
Titik-titik pada ellips yang ordinatnya –2, diperoleh absis
(2)2 2
x? (23)
??
? ? 1
20 5
(2 2)
x? , kedua ruas dikalikan 20 didapat
1
? ? 1
20 5
(x – 2)2 + 4 = 20
x2 – 4x + 4 + 4 = 20 x2 – 4x –12 = 0

(x –6)(x + 2) = 0 x = 6 atau x = -2
Jadi titik singgungnya A(6, -2) dan B (-2,-2)
? xy ?
)(26(? 2) (23)(3)
?? ?
Persamaan garis singgung di A = 1
?
205
(4? 2)
x? y, jika kedua ruas dikalikan 20 didapat
(3)
?
? 1
20 5
4(x – 2) + 4(y + 3) = 20 4x + 4y = 16 x + y = 4
? x y ?
)(26 (? 2) (23)(3)
? ? ?
Persamaan garis singgung di A= 1
?
205
(4? 2)
x? y, jika kedua ruas dikalikan 20 didapat
(3)
?
? 1
20 5
4(x – 2) + 4(y + 3) = 20
4x + 4y = 16
x + y = 4
Persamaan garis singgung di B adalah
?? xy ? )(22(2) (23)(3)
?? ?
? ?
20 5

?x?y
(4 2) ( 3)
?
? ?
20 5

1 , jika kedua ruas dikalikan 20 didapat

-4(x – 2) + 4(y + 3) = 20 -4x + 4y = 0 x + y = 0

C. Rankuman Kegiatan 2
2 2
x y ? Persamaan ellips dengan pusat di O(0,0) adalah 2
? ? 2
a b
? Parsamaan ellips melalui titik T(x1 ,y1) dan pusatnya di titik P( ?,) ?
adalah
2 2
() ()
x? ?
? y?
? ? 1
2 2
a b
2 2
x y
c. Persamaan garis singgungnya m pada ellips adalah 2 1
? ? adalah
2
a b
y = mx ? b? 2 a2m2
d. persamaan garis singgung lingkaran yang tidak berpusat di (0,0) misal di (? , ? ) yaitu y- ? = m(x -? ) ? b? 2 a2m2
e. persamaan garis singgung di titik singgung x x y y
1
(x1,y1) pada ellips adalah 2 1
1 ? b ?
2
a
f. Persamaan garis singgung di titik (x1,y1) pada ellips
2 2
() ()
? y
x? ? , adalah ?
? ? 1
2 2
a b
()() ()()
x? ? x? ?
? ? yy
? ?
1 ?
1
? 1
2 2
a b

d. Tugas
Agar anda memahami materi ellips ini, kerjakan soal-soal berikut secara mandiri.
1. Tentukan persamaan ellips yang titik apinya terletak pada sumbu x dan simetris terhadap O yang memenuhi syarat jarak kedua titik apinya adalah 4 dan jarak kedua garis arah arahnya adalah 5.

2. Tentukan koordinat titik-titik api dari ellips

2 2
xy ? ?1
. 100 36

2
3. Tentukan persamaan ellips yang eksentrisitas numeriknya e = 3 salah satu titik apinya F(6,0).
2 2
x
4. Tentukan nilai m sehin gga garis y = - x +m men yin ggun g elli ps 1. ? y ?
20 5
d. Kunci Jawaban Tugas
Apabila anda menemui kesulitan untuk menyelesaikan soal-soal di atas, petunjuk dapat mengikuti petunjuk penyelesaian.
1. Jarak kedua titik api adalah 2c = 4, berarti c=2. karena jarak kedua garis
a2
arahnya adalah 2 =5 maka a2 = c
5 dan karena c=2 maka a2
c 2
5 ? ?
= 2 5
2
Pada ellips berlaku b2 = a2 – c2 , maka b2 = 5 – 4=1
Karena titik-titik api ellips terletak pada sumbu x dan simetris terhadap O
2 2
y
maka persamaan ellips berbentuk 2 1
x jadi persamaan ellips yang
? ?
2
a b
2 2
ditanyakan adalah 1
x y ? ?
5 1
2 2
2. Persamaan ellips 1
x ? y? berarti a = 10 dan b=6
100 36
Pada ellips berlaku b2 = a2 – c2, dengan demikian c = 8, ini berarti koordinat titik api F1(8,0) dan F2(-8,0)

2 c
3. Eksentrisitas numeriknya e = 3 = . Karena c = 6, maka a = 9
a a2 – c2 = b2


b2 = 81 – 36 atau b2 = 45
b = 45 , mengapa – 45 tidak digunakan?
2 2
Jadi persamaan ellips adalah 1
xy ? ?
81 45


4. Gradien garis y = -x + p adalah -1 Persamaan garis singgung dengan gradien –1 adalah y = -x ? 5. Jadi p = 5

e. Tes Formatif
2 2
xy ? ?
1. Tentukan garis arah dari ellips 1 100 36
4
2. Tentukan persamaan ellips dengan pusat (1,2) dan eksentrisitasnya 5 , sedangkan direktriknya 4x = 25
3. Tentukan panjang garis mayor, minor dan persamaan garis singgung
2 2
xy ? ?
pada ellips 1
50 32 melalui titik (5, 4)
4. Buatlah sketsa ellips 9x2 + 25y2- 36x + 50y –164 =0. Tentukan koordinatkordinat titik fokus dan keempat puncaknya.
f. Kunci Tes Formatif
2 2
xy ? ?
1. Dari ellips 1
100 36 didapat a= 10, b = 6 dan c = 8
100 25 dan x = - 8
100 = - 2 25 = 2
8
4 c 4
2. Eksentrisitasnya 5 = atau c = 5 a
a
25
Direktriknya 4x = 25 atau x = 4 , sedangkan x
a2 25 25 c
demikian didapat atau a2 = 4 = 4
c
a2 = 4 25 . 5 4 a atau a = 5 dan c = 4, akibatnya b = 3
( 1) 2 2
x y ? ( 2)
?
Jadi persamaan ellipsnya adalah 1
?? 259

2 2
xy ? ?
Persamaan garis singgung pada ellips 1
50 32 melalui titik (5, 4)
5x y ? ? 4
adalah 1
50 32
4. Ellips 9x2 + 25y2- 36x + 50y –164 =0 dapat diubah menjadi: 9x2 - 36x + 25y2+ 50y –164 = 0
9(x2 – 4x )+ 25(y2+ 2y) –164 = 0
9(x2 – 4x + 4 )+ 25(y2+ 2y +1) –164 = 36 + 25
9(x – 2)2 + 25(y + 1)2 = 225, kedua ruas dibagi dengan 225 didapat
( 2 2)
x ? ( 2 1)
y ? = 1. Dari persamaan ini a = 5, b = 3 dan c = 4
+ 9
25
Koordinat-kordinat titik fokus adalah (6, -1) dan (-2, -1) dan koordinat keempat puncaknya adalah (7, -1), (-3,-1), 2, 2) dan (2, -4). Anda dapat membuat sketsa dari hasil jawaban ini.

3. Kegiatan Belajar 3 : Parabola
a. Tujuan Kegiatan Belajar 3
Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, diharapkan anda dapat: ? Memahami unsur-unsur parabola
? Menentukan persamaan parabola dan dapat menggambar grafiknya ? Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hiperbola.

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3
Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai satu sumbu simetri adalah Parabola. Buatlah model kerucut dari kertas manila. Atau plastisin (sering disebut malam). Iris dengan bidang yang tegak lurus alas kerucut. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang teriris? Permukaan kerucut yang teriris benbentuk parabola. Parabola diperoleh dengan mengiris bangun kerucut sejajar garis pelukisnya.
Dalam matematika parabola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu pula. Selanjutnya titik itu disebut fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis arah atau ? direktriks. Parabola dapat dilukis jika diketahui garis arah dan titik fokus yang terletak pada suatu garis, di mana garis itu tegak lurus garis arah.

MENENTUKAN PERSAMAAN PARABOLA
Ambil sebarang titik pada parabola misal T(x1 ,y1) dan titik O sebagai puncak parabola. Tarik garis melalui T tegak lurus garis arah yang diketahui misal di P. Hubungkan garis melalui titik T dan F. Berdasarkan definisi parabola: TF = TP. Pandang ? TQF.
? TQF merupakan segitiga siku-siku,

dimana membentuk sudut siku-siku di titik Q. Sehingga berlaku teorema phytagoras:
QT2 + QF2 = TF2
QT2 ?QF2 = TF = TP ? 1 ?
QT 2? QF2 = ?
? x2 ? P
2
? 1 ?
QT 2? QF2 )2 = xP ?
? 2 ?
QT2 + QF2 = (x + P
1 )2
2 y2 + (x - p
1 )2 =
2
1 1 y2 + x2 – px + 2
p = x2 + px + 2 p
4 4 y2 = 2px

Garis
P
A
Keterangan:
Titik F disebut titik api, koordinatnya
1
F(p, 0 )
2
Titik O disebut puncak parabola
1
Garis x = - p disebut garis arah atau
2
Direktriks
Sumbu x; sumbu simetri dari parabola.

Contoh 1
Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di O, sumbu simetrinya berimpit dengan sumbu x dan parabola terletak di kanan sumbu y dan melalui titik ( 1,2)
Penyelesaian
Misal persamaan parabolanya y2 = 2px (karena terletak di setengah bidang bagian kiri). Titik ((1,2) pada parabola berarti 4 = 2p atau p = 2
Jadi persamaan parabolanya adalah y2 = 4x

Contoh 2


Tentukan persamaan parabola puncaknya di (0,0) dan koordinat titik apinya F(4,0).


Penyelesaian


Misal persamaan parabolanya y2 = 2px


1
Koordinat titik apinya F(4,0), berarti p= 4 atau p = 8
2


Jadi persamaan parabolanya adalah y2 = 16x
Contoh 3


Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di (0,0), sumbu simetrinya sumbu x dan persamaan garis arahnya x + 5 = 0


Penyelesaian


Misal persamaan parabolanya y2 = 2px


1
Persamaan garis arahnya x + 5 = 0 berarti p= 5 atau p = 10
2


Jadi persamaan parabolanya adalah y2 = 20x

PERSAMAAN PARABOLA PUSATNYA PADA (a,b)

Garis arah


Ambil sebarang titik pada parabola misal T(x1 ,y1) dan titik P(a,b) sebagai puncak parabola.
Tarik garis melalui T tegak lurus garis arah yang diketahui misal di K. Hubungkan garis melalui titik T dan F. Berdasarkan definisi parabola: TF = TK.
Dengan menggunakan cara yang sama seperti di atas, anda dapat
menjabarkan bahwa persamaan parabola yang puncaknya P(a,b) dan sumbu simetrinya sejajar sumbu x
adalah: (y-b)2 = 2p(x-a)

Keterangan:
Titik F disebut titik api, kordinatnya
1 F(p, b)
2 Titik P
(a,b) disebut puncak parabola
1
Garis x = - p + a disebut garis arah
2 atau Direktriks
Persamaan parabola yang puncaknya P(a,b) dan sumbu
simetrinya sejajar sumbu x adalah: (y-b)2 = 2p(x-a)
Contoh 4
Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di ( 3, 4) dan dan garis arahnya x = 1

Penyelesaian


1 1
Garis arahnya x = 1 berarti - p + 3 = 1 atau p = 2 atau p = 4
2 2 Jadi persamaan parabolanya adalah (y-4)2 = 8(x-3)
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA
Garis singgung parabola adalah suatu garis yang memotong parabola tepat pada satu titik.


a. Gradien diketahui


Misal persamaan garis singgung: y = mx + k


Sehingga ada satu titik pada parabola: y2 = 2px yang memenuhi persamaan garis singgung di atas. Akibatnya:


(mx + k )2 = 2px


m2x2 + 2mkx+ k2 = 2px
m2x2 + (2mk-2p)x+ k2 = 0 ; merupakan persamaan kuadrat dalam variabel x. Agar persamaan kuadrat itu mempunyai satu harga x, maka harus terpenuhi syarat diskriminan dari persamaan itu sama dengan nol, yaitu:
D = 0 y = mx + k
(2mk-2p)2 - 4.m2k2 = 0 4.(mk-p)2 – 4. m2k2 = 0


(m2k2 –2mkp + p2 ) – 4m2k2 = 0
- 8 mkp + 4 p2 = 0 y = 2px - 2 mkp + p2 = 0


p ( p – 2mk) = 0


p = 0 atau p = 2mk, didapat k
= p 2 m


p
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = mx +

Persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola y2


p
= 2px adalah y = mx +
2 m
Contoh 5


Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 2 pada parabola y2 = 8x


Penyelesaian


y2 = 8x berarti p = 4


Persamaan garis singgung dengan gradien 2 pada parabola y2 = 8x


p
adalah y = mx +
2 m


y = 2x + 1
Garis singgung untuk parabola yang berpuncak di (a,b)


Dengan cara yang serupa dengan di atas, anda dapat menemukan persamaan garis singgung parabola yang berpuncak di (a,b) yaitu
p
y-b = m(x-a) +
2 m
Contoh 6


Tentukan persamaan garis singgung yang gradiennya membentuk sudut


45o dengan sumbu x dan menyinggung parabola (y-4)2 = 8(x-3)


Penyelesaian


(y-4)2 = 8(x-3) berarti p = 4 dan koordinat puncaknya (3,4)


Gradiennya membentuk sudut 45o dengan sumbu x berarti m = 1 (masih ingat dari mana asalnya?)


Jadi persamaan garis singgungnya adalah


p
y - b = m(x - a) +
2 m


y – 4= 1(x – 3) + 2 atau y = x + 3

b. Jika titik singgungnya diketahui Misal titik singgungnya di P (x1,y1) Persamaan garis: y = m x + k Karena garis singgung memotong parabola yaitu di tepat satu titik, maka berlaku:
(m x + k)2 = 2px
y12 + m2 ( x – x1)2 + 2m y1 ( x – x1) =

m2x2 + (2mk-2p)x+ k2 = 0 ; merupakan persamaan kuadrat dalam variabel x. Karena ada satu titik potong dengan parabola maka absisnya adalah:
b (2mk2p)
x 1 = - = - 2 ………….(1)
2 a 2m
? ? p
pm k + k =
?
y 1 = m ?
? ………..(2)
2
? m? m
p pp .
y1 = atau m = . Jadi gradien garis singgung adalah m =
m y1 y1
Karena P (x1,y1) pada parabola maka berlaku: y12 = 2px1 setelah kita subtitusikan persamaan (1) dan (2) , maka akan diperoleh nilai k, yaitu:
y1
k =
2
Jadi y = p x + y1 , jika kedua ruas dikalikan y1 maka didapat
y1 2
2
y 1
y1y = px + 2
2
y 1
y1y = px + px1, karena y12 = 2px1 atau 2 = px1
y1y = p(x + x1)

Contoh 7


Tentukan persamaan garis singgung melalui titik P(-2,4) pada parabola y2 = -8x
Penyelesaian


Dari y2 = -8x didapat p = - 4


Titik P(-2,4) terletak pada parabola y2 = -8x


Persamaan garis singgungmelalui titik P adalah:


y1y = p(x + x1)


4y = -4(x – 2)


y = -x + 2


Contoh 8


Tentukan persamaan garis singgung melalui titik P(-2,-3) pada parabola


y2 = 8x
Penyelesaian


Dari y2 = 8x didapat p = 4


Titik P(-2,3) tidak terletak pada parabola y2 = 8x


Misal titik singgungnya S(xo,yo). Maka persamaan garis singgung melalui s adalah yoy = 4(x + xo).


Titik P(-2, -3) terletak pada garis singgung maka:


-3yo = 4(-2 + xo) atau 4xo + 3yo - 8 = 0 (1)
S pada parabola, maka yo2 = -8xo atau xo = 8 1 yo2 (2)
1
Substitusi (2) pada (1) didapat 4( 8 yo 2 ) + 3yo - 8 = 0
1
(2 yo 2 ) + 3yo - 8 = 0
yo 2 + 6yo - 16 = 0
(yo + 8)(yo – 2) = 0


yo= - 8 atau yo = 2
Untuk yo = -8 didapat xo = 8 dan untuk yo = 2 didapat xo = Jadi:

Persamaan garis singgung melalui (8,-8) adalah –8y = 4(x + 8)


x + 2y + 8 = 0.
1 1 )
Persamaan garis singgung melalui ( 2 , 2) adalah 2y = 4(x + 2 2x - y + 1 = 0.
Garis singgung untuk parabola yang berpuncak di (a,b)


Dengan cara yang serupa dengan di atas, anda dapat mneemukan persamaan garis singgung parabola di titik T (x1,y1) yang tidak berpuncak di di (a,b) yaitu:
(y1 – b) (y – b) = p (x + x1–2a)
Contoh 9
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik P(5, -8) pada parabola (y - 4)2 = 8(x - 3)
Penyelesaian
Dari parabola (y - 4)2 = 8(x - 3) didapat p = 4 dan puncaknya (3,4) Titik (5, -8) terletak pada parabola (y - 4)2 = 8(x - 3)
Jadi persamaan garis singgungnya adalah
(y1 – b) (y – b) = p (x + x1 –2a)
(-8 – 4) (y – 4) = 4 (x + 5 –6)
-12(y – 4) = 4 (x -1)
-12y + 48 = 4x – 4
4x + 12y = 52



c. Rankuman Kegiatan 3
2 2
x y
? Persamaan ellips dengan pusat di O(0,0) adalah 2 1
? ?
2
a b
? Persamaan ellips melalui titik T(x1 ,y1) dan pusatnya di titik P( ?,) ?
adalah
2 2
() ()
x? ?
? y ?
? ? 1
2 2
a b
2 2
x y
? Persamaan garis singgungnya m pada ellips adalah 2 1
? ? adalah
2
a b y = mx ? b? 2 a2m2
? Persamaan garis singgung lingkaran yang tidak berpusat di (0,0) misal di (? , ? ) yaitu y- ? = m(x-? ) ? b? 2 a2m2
? Persamaan garis singgung di titik singgung (x1,y1) pada ellips adalah xx y y
1
1 ? b ?
2 1
2
a
? Persamaan garis singgung di titik (x1,y1) pada ellips
2 2
() ()
? y
x? ? , adalah
?
? ? 1
2 2
a b
()() ()()
x? ? x? ?
? ? y y
? ?
1 ?
1
? 1
2 2
a b
d. Tugas 3
Untuk memantapkan pemahaman anda, kerjakan tugas-tugas berikut
1. Tentukan tititk api dan persamaan garis arah parabola y2=24x
2. Carilah persamaan garis yang menghubungkan titik M dan titik api parabola y2=20x, jika absis titik M adalah 7.
3. Tentukan nilai k sehingga persamaan y=kx+2 menyinggung parabola y2=4x.

4. Diketahui puncak parabola adalah A(6,-3) dan persamaan garis arahnya 3x-5y+1=0, tentukan titik api dari parabola.
e. Kunci Jawaban Tugas
Jika anda menemui kesulitan, anda dapat mengikuti penyelesaian berikut ini.
1. Persamaan parabola y2=24x. berarti p=12
jadi koordinat titik apinya F(6,0) dan persamaan garis arah parabola x= -6
2. Persamaan parabola y2=2x. berarti p=1 dan F( 2 1 ,0)
karena titik M pada parabola dan absisnya 8 maka ordinat titik M adalah y= ? 4
berarti M1(7,4) dan M2(7, -4)
1 x?
Persamaan garis M1 F adalah 4 y = 2 atau 13y= 8x - 4
1
7 ?
2
1 x?
Dan persamaan garis M2 F adalah ? 4 y = 2 atau 13y= 8x - 4
1
7 ?
2
3. Misalkan S(x1,y1) titik singgung pada parabola.
22x1
Maka persamaan garis singgung di S adalah y1y=2(x+x1) atau y=x ?
y y
1 1
2
Agar garis y = kx+2 menyinggung parabola maka harus dipenuhi k
?
y 1
2
dan 2
x berarti x1=y1
1 ?
y 1
1
Karena S pada parabola dan x1=y1 maka y1 = 4. Jadi k= 2
4. Titik api parabola terletak pada garis yang melalui puncak parabola tegak lurus garis arah dan jarak puncak ke titik api sama dengan jarak puncak ke garis arah.

Jarak A ke garis arah adalah d=

18151 ? ?
9 25 ?


= 34 (Gunakan jarak titik ke

garis)
Persamaan garis melalui A dan tegak lurus garis arah adalah:
5 x+7 Y+3= - 3 5 (x-6) atau y= - 3
Misalkan F (x1,y1) titik api parabola
5 2
Maka y1=- 3 x1+7 dan AF = 2
(x 1 ? 6)? ( y? 3)= 34
1
?5
2
Berarti 73)} {(26)(
x = ? ?x
1 ? ? 1
3
Setelah kedua ruas dikuadratkan dan dijabarkan kita memperoleh
2
xx1 ? ? ?
121 27 0 jadi x1 ? 9atau x? 1 3
untuk x1 ? 9 diperoleh y1 ?? 8 jadi C(9, -8) untuk x1 ? 3 diperoleh y1 ? 2 jadi C(3,2)
Karena titik D(3,2) terletak pada garis arah 3x-5y+1=0, maka titik apinya F(9,-8).
f. Tes Formatif
1. Buatlah sketsa grafik parabola y2 = 4x dan x2 = -4y
2. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di titik pangkal O dan melalui (6,-6) serta menyinngung sumbu y
3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (-2, -3) pada parabola y2 = 8x
4. Tentukan puncak, sumbu simetri, fokus dan direktrik dari parabola dengan persamaan y2 = - 6x

g. Kunci Tes Formatif
1. a) Parabola y2 = 4x puncaknya (0,0),
dan melalui titik (1,1), (2,4), (-1, 1), (-2, 4) yang dicari dengan menggunakan tabel berikut. Anda dapat membuat sketsa sendiri!
x 1 2 -1 -2
y2 1 4 1 4
b) Parabola x2 = -4y puncaknya (0,0),
dan melalui titik (1,-4), (2,-8), (-1, 4), (-2, 8) yang dicari dengan menggunakan tabel berikut. Anda dapat membuat sketsa sendiri!
y 1 2 -1 -2
x2 -4 -8 4 8
2. Parabola yang berpuncak di titik pangkal O dan menyingung sumbu y, bentuk umumnya adalah x2 = 2py
Melalui (6,-6), maka 36 = -12 p, didapat p = -3
Jadi persamaan parabola yang diminta adalah x2 = -6y
3. Titik (-2, -3) tidak pada parabola y2 = 8x.
Dari y2 = 8x didapat p = 4
Misal titik singgungnya (a,b), maka persamaan garis singgungnya adalah
by = 4(x + a). Garis singgung ini melalui titik (-2, -3) maka -2b = 4(-3 + a) atau 4a + 2b = 12 ....(1)
Sedangkan (a, b) pada parabola y2 = 8x maka berlaku b2 = 8a (2) Eliminasi dari (1) dan (2) didapat a = 2 dan b = 4 atau a = 4,5 dan b=-6 Jadi persamaan garis singgungnya adalah :
4y = 4( x + 2) atau y = x + 2, atau
-6y = 4( x + 4,5) atau 4x + 6y + 18 = 0
4. Persamaan parabola y2 = - 8x Puncak di (0,0) Persamaan sumbu simetri adalah y = 0 atau sumbu x Koordinat fokus adalah (-2, 0); Persamaan direktrik adalah x = 2

4. Kegiatan Belajar 4: Hiperbola
a. Tujuan Kegiatan Belajar 4
Setelah mempelajari Kegiatan Belajar 4 ini, diharapkan anda dapat mendeskripsikan hiperbola sesuai dengan ciri-cirinya.
? Memahami unsur-unsur hiperbola.
? Menentukan persamaan hiperbola dan dapat menggambar grafiknya. ? Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hiperbola.

b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4
Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri adalah Hiperbola. Hiperbola merupakan bangun datar yang diperoleh dengan mengiris bangun ruang kerucut yang saling bertolak belakang memotong tegak lurus bangun kerucut tersebut tetapi tidak memotong puncak kerucut.
Dalam matematika hiperbola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Hiperbola.
Jadi hiperbola dapat dilukis jika diketahui dua titik fokus hiperbola dan suatu ruas garis yang panjangnya kurang dari dari jarak kedua titik fokus itu diketahui.

UNSUR-UNSUR HIPERBOLA
Keterangan:
Titik O disebut koordinat titik pusat Hiperbola
Titik A dan B disebut koordinat titiktitik puncak hiperbola
Titik F1 dan F2 disebut koordinat titiktitik fokus hiperbola.
AB dan CD berturut-turut disebut
sumbu mayor (sumbu panjang) dan sumbu minor (sumbu pendek)
AB = TF 1 ? TF2 = TF? 2 TF1
Garis l dan m merupakan Asimtot hiperbola
MENENTUKAN PERSAMAAN HIPERBOLA Misalkan F1F 2 = 2c , merupakan
jarak antara dua titik fokus. Maka F1(c,0) dan F2(-c,0). Misalkan selisih jarak yang tetap itu adalah 2a.
Ambil sebarang titik pada hiperbola misal T(x1 ,y1) dan titik O sebagai pusat hiperbola.
Berdasarkan definisi hiperbola, yaitu:
TF2 - TF1 = 2a
2 2 2
( x1 ? c)? y + 2
( x1 ? c)? y = 2a
1 1
2 2 2
( x1 ? c)? y = 2a -2 ( x1 ? ? c)y
1 1


(x1+c)2 + y12

= 4a2 + (x1- c)2 + y12 –4a

2 2

(x1 ? c)? y; kedua ruas
1

dikuadratkan

2
(x12 +2x1c + c2) + y12 = 4a2 + (x12 - 2x1c + c) + c2 –4a2 (x1 ? ? c)y 1
2
4x1c - 4a2 = –4a2
(x1 ? ? c)y1
(x1c - a2)2 = a2 {(x1- c)2 + y12}; kedua ruas dikuadratkan
x12c2 + a4 - 2x1ca2 = a2 (x12 - 2x1c + c2) + a2y12
(c2 - a2)x12 - a2y12 = a2(c2 - a2)
Karena c > a maka c2 - a2 > 0 sehingga kita dapat memisalkan c2 - a2 = b2 sehingga persamaan di atas menjadi
b2 x12 - a2y12 = a2 b2
2 2
x y
1 ? 1 ? 1
2 2
ab
Karena T(x1,y1) sebarang titik yang diambil, maka setiap titik yang diambil
2 2
x y memenuhi: 2 1
? ?
2
a b
Garis asimtot hiperbola adalah suatu garis yang melalui pusat hiperbola dan menyinggung hiperbola di jauh tak berhingga titik.
Misal persamaan garis yang melalui pusat hiperbola dan memotong hiperbola:
y = mx
2 2
x y Sehingga minimal ada satu titik pada hiperbola: 2 1
? ? yang
2
a b memenuhi persamaan garis di atas. Akibatnya:
2 2
x ()
mx
? b ? 1
2 2
a
b2 x2 - a2 (mx)2 = a2b2 ; kedua ruas dikalikan a2b2 b2 x2 - a2 m2x2 = a2b2
(b2 - a2 m2)x2 = a2b2
ab mab
Maka x = + sehingga y = +
b2 am22
? b2 am22
?
Jadi koordinat-koordinat titik potongnya adalah
ab mab ? ,
ab ? )
mab
,
( ) dan (
b2 am22
? b2 am22 ?
Jika b2-a2m2 > 0 maka ada dua titik potong yang berlainan

Jika b2-a2m2 < 0 maka tidak ada titik potong atau titik potongnya hayal. Jika b2-a2m2 = 0 maka titik potongnya di jauh tak berhingga.
Hal yang terakhir menyatakan bahwa b2-a2m2 = 0 jika m = + b maka garis
a

y= mx menyinggung hiperbola di jauh tak berhingga.
b
Jadi garis-garis y = + x disebut asimtot-asimtot hiperbola.
a
Persamaan asimtot juga dapat dinyatakan dengan:
yy
x dan ? b ? 0
? b ? 0 x ; dengan membagi kedua ruas dengan b.
a a
2 2
x y
sehingga persamaan susunan asimtotnya adalah 2 0
? ?
2
a b
Contoh 1
2 2
Diketahui persamaan parabola 1
x y ? ?
16 9
Tentukan Koordinat puncak, fokus, puat, persamaan asimtot dan eksentrisitas numerik. Juga buat skertsa hiperbolanya.

Penyelesaian
2 2
Dari parabola 1
x ? y ? didapat a = 4, b= 3 dan c2 - a2 = b2
16 9
c2 - 16 = 9 atau c2 = 25, didapat c = 5 (kenapa –5 tidak digunakan?) Koordinat pusat adalah O(0,0); Koordinat puncak adalah B (-4,0) dan A(4,0); Koordinat Fokus F1 (5,0) dan F2 (-5,0)
3 3
Persamaan asimtot adalah y = 4 x dan y = - 4 x
5
Eksentrisitas numeriknya adalah e = 4

PERSAMAAN HIPERBOLA DENGAN PUSAT PADA (a,b)
Dengan cara yang sama, ambil sebarang titik pada lingkaran misal T(x1 ,y1) dan titik P( ?, ?) sebagai pusat hiperbola
maka akan didapat persamaan hiperbo yaitu:
2 2
( ) ( )
x? ?
? y?
? ? 1
2 2
a b
Pusatnya di ? ( , ? ), fokus di F1( ? +c, ? ) dan F2( ? -c, ? ); Puncak di A(? + a, ? ) dan B( ? -a, ?) ; Persamaan asimtotny
? = + b (x - ? ) ; Eksentrisitas numeriknya e = a c > 1 a

Contoh 2
( 2)2 2
x y ? (8)
?
Diketahui hiperbola dengan persamaan 1
? ?
16 9
Tentukan Koordinat puncak, fokus, puat, persamaan asimtot dan eksentrisitas numerik. Juga buat skertsa hiperbolanya.
Penyelesaian
( 2) 2 2
Dari 1
x ? ydidapat a = 3 , b = 1, ? = 2, ?= 8 dan c =
( 8)
?
??
31
2
Pusatnya di( 2, 8)
Fokus di F1(4, 8) dan F2(0, 8);
Puncak di A(2 +3 , 8) dan B(2 - 3 ,

Persamaan asimtotnya y - 8 = +
2

Eksentrisitas numeriknya e = 3

MEMBUAT SKETSA HIPERBOLA
Langkah-langkah:
1. Tetapkan titik F1, F2 dan panjang 2a <

2. Tentukan titik A dan B pada perpanjangan garis F1F2 sedemikian hingga F2B = F1A .
3. F2B = F1A = ½ (F1F2 - 2a).
4. Titik Ti diperoleh sebagai berikut:


5. Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jari-jari ri > F2A
6. Dari B busurkan lingkaran dengan jari-jari ri - 2a


7. Perpotongan lingkaran pada langkah (a) dan (b) adalah titik Ti.


8. Lakukan langkah yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F2 dan sebaliknya. Selamat mencoba
c. Rangkuman Kegiatan 4
? Persamaan parabola yang puncaknya O(0,0) dan sumbu simetrinya sumbu x adalah y2 = 2px
? Persamaan parabola yang puncaknya P(a,b) dan sumbu simetrinya
sejajar sumbu x adalah: (y-b)2 = 2p(x-a)
? c. Persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola y2


p
= 2px adalah y = mx +
2 m


? Persamaan garis singgung pada parabola yang berpuncak di (a,b) yaitu


p
? y-b = m(x-a) +
2 m


? Jadi persamaan garis singgung melalui titik (x1,y1) pada parabola y2 = 2px adalah y1y = p(x + x1)

? Persamaan garis singgung parabola di titik T (x1,y1) yang tidak berpuncak di di (a,b) yaitu (y1 – b) (y – b) = p (x + x1 –2a)
d. Tugas 4
Untuk lebih memahami apa yang anda pelajari, kerjakan latihan berikut secara mandiri.


1. Tentukan persamaan hiperbola yang pusatnya di (0,0) dan panjang sumbu hiperbola masing-masing 16 dan 12. Tentukan pula jarak antara dua fokus, persamaan direktrik, dan asimtot.


2. Tentukan persamaan hiperbola yang pusatnya di (0,0) jika eksentrisitas


13
nya 12 sedangkan jarak antara kedua fokus 56.
3. Diketahui hiprbola 9x2 – 16y2 = 144. Tentukan direktrik (garis arah), fokus, dan puncaknya. Gambar sketsa grafiknya


4. Diketahui hiperbola 9x2 – 16y2 – 36x – 32y - 124 = 0. Tentukan direktrik (garis arah), fokus, dan puncaknya. Gambar sketsa grafiknya


5. Temukan persamaan hiperbola yang titk-titik apinya terletak pada sumbu x, simetris terhadap O dan melalui titik M(-5,3)dan eksentrisitas
numeriknya e=2 .
e. Kunci Jawaban Tugas 4
Apabila anda menemui kesulitan dalam megerjakan soal latihan, anda dapat mengikuti penyelesaian berikut.


1. Panjang sumbu hiperbola masing-masing 12 dan 18, berarti 2a = 16 dan 2b = 12. Jadi a = 8 dan b = 6, dengan demikian c = 10.


Koordinat fokus (10,0) dan (–10,0)


64
Persamaan direktriknya x = + 10

3
Persamaan asimtotnya y = ? 4 x

Jarak kedua fokus = 20
c 13
2. Jarak antara kedua fokus 52 berarti c = 26. Eksentrisitasnya = 12
a
2 2
maka a = 24 dan b = 10. Persamaan hiperbolanya 1
xy ? ? 576 10
2 2
x
3. 9x2 – 16y2 = 144, kedua ruas dibagi dengan 144 didapat 1 , ? y ?
16 9
berarti a = 4, b = 3 dan didapat c = 5
16
Direktrik x = ? , fokus (5,0) dan (-5,0) dan puncak (4,0) dan (-4,0)
5
4. 9x2 – 16y2 – 36x – 32y - 124 = 0 9x2 – 36x -16y2 – 32y - 124 = 0 9(x2 – 4x) -16(y2 + 2y) - 124 = 0 9(x2 – 4x + 4) -16(y2 + 2y + 1) - 124 –36 + 16 = 0
9(x2 – 4x + 4) -16(y2 + 2y + 1) = 144
9 (x – 2)2 – 16(y + 1)2 = 144, kedua ruas dibagi 144 didapat
( 2 2)( 2 1)
x? - 9
y ? = 1, dengan demikian a = 4, b = 3 dan c = 5. Yang lain
16
anda dapat mencarinya.
2 2
x y
5. Persamaan hiperbola yang ditanyakan berbentuk 2 1
? ?
2
a b 25 9
titik M(-5,3) pada hiperbola, berarti 1
a 2 ? b 2 ? atau 25b2=a2b2+9a2.
c
Karena e= = 2 maka c2=2a2.
a
Pada hiperbola berlaku c2=a2+b2, maka 2a2.=a2+b2 atau a2=b2 Akibatnya 25b2=b4+9b2 atau b2=16 sehingga a2=16
2 2
Jadi persamaan hiperbola yang ditanyakan adalah 1
xy ? ?
16 16

g. Tes Formatif
1. Diketahui hiperbola pusatnya di (0,0), eksentrisitasnya 12
13 dan jarak
kedua fokus adalah 39. Tentukan persamaan hiperbola tersebut
2. Diketahui hiperbola x2 - 16 y2 – 4 x –32y –28 =0. Tentukan koordinat
fokus dan puncak hiperbola
2 2
3. Tentukan persamaan garis singgung 1
x ? y? yang sejajar garis x
64 36
+y + 1 =0
2 2
4. Tentukan persamaan garis singgung 1
x ? y ? yang melalui
24 8
titik (6, 2).
h. Kunci Tes Formatif
c 13
1. Jarak antara kedua fokus 26 berarti c = 13. Eksentrisitasnya = 12
a
2 2
maka a = 12 dan b = 5. Persamaan hiperbolanya 1
x y ? ? 144 25
2. x2 - 16 y2 – 4 x –32y –28 =0 x2 – 4 x - 16 y2 –32y –28 =0 x2 – 4 x - 16 (y2 –2 )–28 = 0 (x2 – 4 x + 4) - 16 (y2 –2y +1) )–28 =4 - 16
(x –2)2 - 16(y – 1)2 = 16, kedua rus dibagi 16 didapat
( 2 2)( 2 1)
x? - 1
y ? = 1 dari bentuk terakhir didapat a = 4, b = 1
16

maka c = 17 .



parabola adalah (-4, 0) dan ( 4, 0)

3. Gradien x +y + 1 =0 adalah -1
Garis singgung sejajar garis x +y + 1 =0, maka gradiennya sama yaitu –1
2 2
Dari 1
x ? y? didapat a = 8, b=6
64 36
Seperti halnya pada ellips, persamaan garis singgung yang gradiennya m
2 2
x y
pada hiperbola 2 1
? ? adalah
2
a b
y = mx ? 2 ma? 2 b2
y = mx ? 2 ma? 2 b2
y = -1x ? 64? 36



Seperti halnya pada ellips, persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) adalah
xx y y
1 1
-
2 2

a b
2y =1 Jadi persamaan garis singgungnya 24
6x - 8

BAB III. EVALUASI
A. Evaluasi Tes Tertulis
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan syarat:
b) bertitik pusat di P(3,-4) dan melalui O(0,0)
c) melalui titik–titk K(3,1) dan L(-1,3) dan titik pusatnya terletak pada
garis 3x-y-2=0
2. tentukan titik pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan
x2 + y2 + 8x + 4y + 4= 0.

3. Tentukan koordinat titik-titik api dari ellips

2 2
xy ? ?1
. 100 36

2
4. Tentukan persamaan ellips yang eksentrisitas numeriknya e = 3 salah
satu titik apinya F(6,0).


5. Tentukan tititk api dan persamaan garis arah parabola y2=24x


6. Diketahui hiperbola 9x2 – 16y2 – 36x – 32y - 124 = 0. Tentukan direktrik (garis arah), fokus, dan puncaknya.

B. Kunci Jawaban Tes Tertulis
1. a) Persamaan lingkaran dengan pusat P(3,-4) dan melelui O(0,0) adalah (x -3)2 + (y + 4)2 = 25. Jarak OP sebagai jari -jari b) Misalkan persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 + Ax By +C = 0,
1 1
dimana pusat lingkaran P) ,
(? A? B. Koordinat-kordinat titik K dan L
2 2
disubstitusikan pada persamaan lingkaran dan koordinat P disubstitusikan pada garis 3x – y –2=0. Sehingga diperoleh sistem persamaan linier yang terdiri atas 3 persamaan dan 3 variabel yaitu A, B, dan C. Selesaikan sistem persamaan itu dengan substitusi dan/atau eliminasi didapat A = -4, B = -8 dan C = 10.
Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 - 4x - 8y +10 = 0 d) Persamaan lingkaran tersebut dapat diubah menjadi
(x + 2 5 )2 + (y + 4)2 = 4 25 , jadi pusatnya (- 2 5 ,-1) dan jari -jarinya
5 2
2 2
3. Persamaan ellips 1
x ? y? berarti a = 10 dan b=6
100 36
Pada ellips berlaku b2 = a2 – c2, dengan demikian c = 8, ini berarti koordinat titik api F1(8,0) dan F2(-8,0)
2 c
4. Eksentrisitas numeriknya e = 3 = . Karena c = 6, maka a = 9
a a2 – c2 = b2
b2 = 81 – 36 atau b2 = 45
b = 45 , mengapa – 45 tidak digunakan?
2 2
Jadi persamaan ellips adalah 1
xy ? ?
81 45
5. Persamaan parabola y2=24x. berarti p=12 jadi koordinat titik apinya F(6,0) dan persamaan garis arah parabola x= -6

6. x2 – 16y2 – 36x – 32y - 124 = 0
9x2 – 36x -16y2 – 32y - 124 = 0
9(x2 – 4x) -16(y2 + 2y) - 124 = 0
9(x2 – 4x + 4) -16(y2 + 2y + 1) - 124 –36 + 16 = 0 9(x2 – 4x + 4) -16(y2 + 2y + 1) = 144
9 (x – 2)2 – 16(y + 1)2 = 144, kedua ruas dibagi 144 didapat
( 2 2)( 2 1)
x? - 9
y ? = 1, dengan demikian a = 4, b = 3 dan c = 5. Yang lain
16
anda dapat mencarinya.

BAB IV. PE N UTU P
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes praktek untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
Mintalah pada guru untuk melakukan uji kompetensi dengan sistem penilaian yang dilakukan langsung oleh pihak industri atau asosiasi yang berkompeten apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka hasil yang berupa nilai dari guru atau berupa portofolio dapat dijadikan bahan verifikasi oleh pihak industri atau asosiasi profesi. Kemudian selanjutnya hasil tersebut dapat dijadikan sebagai penentu standar pemenuhan kompetensi dan bila memenuhi syarat anda berhak mendapatkan sertifikat kompetensi yang dikeluarkan oleh dunia industri atau asosiasi profesi.

DAFTAR PUSTAKA
Rawuh Dkk, 1975. Ilmu Ukur Analitis, Teori dan Soal-Soal. Bandung: Terate
Thomas, George B. dan Finney, Ross L., 1978. Calculus and Analytic Geometry, Fifth Edition. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar